Прынцып Дырыхле

№1. У розыгрышы першынства па футболе ўдзельнічаюць 30камандаў. Кожныя дзве каманды павінны згуляць паміж сабой адзін матч. Даказаць, што ў любы момант спаборніцтваў маюцца дзве каманды, якія згулялі да гэтага моманту аднолькавы лік матчаў.

№2.  Штодня на працягу года вучань рашаў не менш за адну задачу, прычым штотыдзень ён рашаў не больш за 12 задач. Даказаць, што знойдзецца некалькі паслядоўных дзён, за якія ён рашыў роўна 20 задач.

№3. Задача Рамсэя. Дакажыце, што сярод любых 6 чалавек ёсць альбо трое папарна знаёмых, альбо трое папарна незнаёмых.

№4. .Даказаць, што сярод 101 цэлага ліку заўсёды можна выбраць два такія, што іх рознасць дзеліцца на 100.

№5.Кожная з дзевяці прамых разбівае квадрат на два чатырохвугольнікі, плошчы якіх адносяцца як 2: 3. Дакажыце, што, па меншай меры, тры з гэтых прамых праходзяць праз адзін пункт.

№6.  Кожны пункт плоскасці пафарбаваны ў адзін з двух колераў. Даказаць:

  а)  на гэтай плоскасці існуе раўнабокі трохвугольнік, усе тры вяршыні якога пафарбаваны ў адзін і той жа колер;

 б)  на гэтай плоскасці існуе роўнастаронні трохвугольнік, усе тры вяршыні якога пафарбаваны ў адзін і той жа колер

  в)  на гэтай плоскасці знойдзецца трохвугольнік з вугламі 30 °, 60 °, 90 ° і гіпатэнузай п, вяршыні якога пафарбаваны ў адзін і той жа колер.

№7.  «Кароль-самазабойца». На шахматнай дошцы памерам 1000 на 1000 стаіць чорны кароль і 499 белыя ладдзі. Дакажыце, што пры адвольным першапачатковым размяшчэнні фігур кароль можа стаць пад удар белай ладдзі, як бы не гулялі белыя.

№8. Няхай у выпуклага 24-вугольніка ўсе стораны і дыяганалі пафарбаваны альбо ў чырвоны, альбо ў сіні колер. Ці можна выбраць 4 вяршыні так, каб усе стораны і дыяганалі ўтворанага чатырохвугольніка мелі аднолькавы колер?

№9. Гурт людзей складаецца з 40 чалавек. Ці знойдзецца такі месяц у годзе, у якім адзначаюць свой дзень нараджэння не менш чым 4 чалавекі з гэтага гурта?