Ураўненні ў цэлых ліках

Ураўненні ў цэлых ліках – гэта алгебраічныя ўраўненні з двума або больш невядомымі зменнымі і цэлымі каэфіцыентамі. Рашэннямі такога ўраўнення з'яўляюцца ўсе цэлалікавыя (часам натуральныя або рацыянальныя) наборы значэнняў невядомых зменных, якія задавальняюць гэтаму ўраўненню. Такія ўраўненні яшчэ называюць дыяфантовымі, у гонар старажытнагрэчаскага матэматыка Дыяфанта Александрыйскага, які даследаваў некаторыя тыпы такіх ураўненняў яшчэ да нашай эры. 

Сучаснай пастаноўкай дыяфантовых задач мы абавязаны французскаму матэматыку Ферма. Менавіта ён паставіў перад еўрапейскімі матэматыкамі пытанне аб рашэнні нявызначаных ураўненняў толькі ў цэлых ліках. Найбольш вядомае ўраўненне у цэлых ліках - вялікая тэарэма Ферма:

ураўненне xⁿ + yⁿ = zⁿ не мае ненулявых рацыяцыянальных рашэнняў для ўсіх натуральных n ˃2.  

Варта для розных тыпаў ураўненняў выбіраць адпаведныя метады рашэння. Пры рашэнні ўраўненняў у цэлых і натуральных ліках можна ўмоўна вылучыць наступныя метады:

- спосаб перабору варыянтаў;

- прымяненне алгарытму Еўкліда;

- прадстаўленне лікаў у выглядзе бесперапынных (ланцуговых) дробаў;

- рашэнне ўраўненняў у цэлых лічбах як квадратных (ці іншых) адносна якой-небудзь зменнай;

- раскладання на множнікі;

- метад астач;

- метад бясконцага спуску.